化归 · 看得见的小蓝本·高中卷

一句话

化归：把一个不会解的问题，经过一步步变形，变成一个已经会解的问题。烧水的人说：水壶里已经装满了水？那就先把水倒掉——问题就变回了“空壶烧水”，那个我们早就会了。

最常见的四种走法：复杂化为简单，陌生化为熟悉，一般化为特殊，一个命题化为另一个更容易的等价命题。上面的图就是“陌生化为熟悉”： $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4$ 谁也没见过，但等比数列人人都会。

例：a₁ = 1，aₙ₊₁ = 3aₙ + 4，求通项

第 1 / 4 步

陌生的递推
直接算几项： $1, 7, 25, 79, \dots$ 。相邻两项的比 $7, 3.57 \dots, 3.16 \dots$ 不固定，不是等比数列。

$a_{n + 1} = 3 a_{n} + 4$
想变成熟悉的样子
求出 c
化归完成

先猜后证

递推 $a_{n + 1} = 5 a_{n} - 8$ 。 $b_{n} = a_{n} + c$ 要成为等比数列， $c$ 应该取多少？

c = - 2

c = 2

c = - 8

c = 8

先选定答案，才能看到结论。

第 1 站 · 函数方程的代换（卷二）

$f (x)$ 和 $f (\frac{1}{x})$ 搅在一起，一个方程解不出来。用 $\frac{1}{x}$ 代 $x$ 再造一个方程，函数方程就化归成了方程组。

例：x ≠ 0 时 f(x) + 2f(1/x) = 3x，求 f(x)

第 1 / 4 步

一个方程，两个未知量
把 $f (x)$ 和 $f (\frac{1}{x})$ 看成两个未知数 $A$ 、 $B$ 。只有一个方程，解不出来。

$A + 2 B = 3 x$
用 1/x 代 x
化归成方程组
代回去检验

第 2 站 · 三角代换（卷三）

$1 - x^{2}$ 让人头疼，可是 $x = cos t$ 时它就是 $sin t$ ——根式问题化归成三角问题，而三角函数的最值我们会求。

一题多解

求函数 $y = x + 1 - x^{2}$ 的值域。

三角代换

定义域 $[- 1, 1]$ 。令 $x = cos t$ ， $t \in [0, π]$ ，则 $1 - x^{2} = sin t \geq 0$ 。

$y = cos t + sin t = 2 sin (t + \frac{π}{4})$ ， $t + \frac{π}{4} \in [\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}]$ 。

所以 $sin (t + \frac{π}{4}) \in [- \frac{2}{2}, 1]$ ， $y \in [- 1, 2]$ 。

代价一步化归，但必须写清新变量的范围。

移项平方

$y - x = 1 - x^{2}$ 要求 $y \geq x$ 。平方得 $2 x^{2} - 2 y x + y^{2} - 1 = 0$ ，判别式 $\geq 0$ 给出 $y^{2} \leq 2$ 。

再验证 $y \geq x$ 的约束，结合端点 $x = \pm 1$ ，才得到 $y \in [- 1, 2]$ 。比代换多了一层讨论。

代价能做，但要小心平方带来的增根和符号。

第 3 站 · 移轴（卷七）

方程 $x y - 2 x + 3 y = 0$ 表示什么曲线？看着陌生。把它配成乘积，平移坐标轴，它就化归成了我们熟悉的等轴双曲线 $x^{'} y^{'} = k$ 。

例：化简 xy − 2x + 3y = 0

第 1 / 4 步

凑成乘积
$(x + 3) (y - 2) = x y - 2 x + 3 y - 6$ ，比原式左边少 $6$ 。

$(x + 3) (y - 2) = x y - 2 x + 3 y - 6$
改写方程
移轴
认出来了

第 4 站 · 复数方程（卷四）

$z^{3} = 8 i$ 用代数形式 $z = a + bi$ 去展开，要解一个三元的方程组。改用三角形式，解方程化归成“模开方、辐角三等分”。

例：解方程 z³ = 8i

第 1 / 4 步

写成三角形式
$8 i$ 的模是 $8$ ，辐角是 $\frac{π}{2}$ 。

$8 i = 8 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2})$
模开方，辐角三等分
三个根
检验一个

练一练

练习 1基础

已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，求 $a_{10}$ 。

练习 2基础

函数 $f (x)$ 对一切实数 $x$ 满足 $f (x) + 2 f (1 - x) = x$ ，求 $f (2)$ 。

练习 3提高

求 $y = 3 x + 4 1 - x^{2}$ 的最大值。

练习 4挑战

已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + a _{n}}$ ，求 $a_{20}$ 。

化归

一句话

例：a₁ = 1，aₙ₊₁ = 3aₙ + 4，求通项

第 1 站 · 函数方程的代换（卷二）

例：x ≠ 0 时 f(x) + 2f(1/x) = 3x，求 f(x)

第 2 站 · 三角代换（卷三）

三角代换

移项平方

第 3 站 · 移轴（卷七）

例：化简 xy − 2x + 3y = 0

第 4 站 · 复数方程（卷四）

例：解方程 z³ = 8i

练一练

错误博物馆 · 本站展品

换元之后忘了新变量的范围

只代换一次就想解出 f(x)

这条线路经过的站