辅助角与三角求值

这一招在做什么

把 $a\sin x+b\cos x$ 看成一根折线的高度：先沿角 $x$ 走 $a$，再左转 $90^{\circ }$ 走 $b$。两段的竖直分量正好是 $a\sin x$ 和 $b\cos x$。折线是刚性的，整体一起转，所以终点总在半径 $R=\sqrt{a^2+b^2}$ 的圆上，而且斜边始终比第一段超前一个固定的角 $\phi$：

这就是辅助角公式。用法三步：

1. 提出 $R$：$R=\sqrt{a^2+b^2}$，括号里剩下 $\frac{a}{R}\sin x+\frac{b}{R}\cos x$，两个系数的平方和是 $1$。
2. 认出 $\phi$：$\frac{a}{R}$、$\frac{b}{R}$ 就是点 $(a,b)$ 的方向角 $\phi$ 的余弦、正弦——象限由 $(a,b)$ 决定。
3. 合成后用正弦的性质：最值 $\pm R$、周期、单调区间、对称轴，全都化归到 $\sin (x+\phi )$；有区间限制时，先求 $x+\phi$ 的范围。

跟着做一遍

三角求值：先看角，再定范围

辅助角是“把两项合成一项”。求值题常常反过来，把一个角拆成已知角的和或差，这一章的公式全都会用上。例如：

已知 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，$\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{3}$，求 $\cos \alpha$。

• 看角：$\alpha =\left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{6}$，已知角加上一个特殊角。
• 定范围：$\alpha -\frac{\pi }{6}\in \left(-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right)$，而它的正弦是正的，所以它在 $\left(0,\frac{\pi }{3}\right)$ 里，余弦为正：$\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
• 用公式：$\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$。

常用的“拆角”还有 $2\alpha =(\alpha +\beta )+(\alpha -\beta )$、$\frac{\pi }{4}+\alpha =\frac{\pi }{2}-\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)$，以及把 $1$ 写成 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$ 或 $\tan \frac{\pi }{4}$。如果式子里只剩 $\tan \frac{\alpha }{2}$，还可以用万能公式 $\sin \alpha =\frac{2t}{1+t^2}$、$\cos \alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}$（$t=\tan \frac{\alpha }{2}$）把一切化成 $t$ 的有理式。

练一练