- §2.1有向线段给线段装上方向，长度就带上了正负号：数值 = 终点坐标 − 起点坐标，首尾相接的有向线段可以直接相加。
- §2.2几个基本问题两点的距离、定比分点、三角形的面积——三个公式，把“量一量”变成“算一算”。
- §2.3适当选取坐标系坐标系是你自己放上去的。把原点放在关键点上、把坐标轴贴着关键直线，式子就短一半。
- §2.4曲线与方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上——两句话都成立，方程才配叫曲线的方程。
- §3.1直线的方程同一条直线有五种写法；每种写法都有它“写不出来”的直线，只有一般式 Ax+By+C=0 一条不漏。
- §3.2直线方程的法线式从原点向直线作垂线：垂线的方向 θ 和长度 p 确定了直线，x cosθ + y sinθ − p = 0。
- §3.3点、直线间的相互关系点到直线的距离、离差的正负、两直线的夹角与平行垂直，全都由系数 A、B、C 直接算出。
- §3.4直线系过两直线交点的所有直线写成 l₁ + λl₂ = 0；不求交点，先设一族，再用一个条件定出 λ。
- §4.1圆把 x²+y²+Dx+Ey+F=0 配两次方，圆心和半径就露出来；D²+E²−4F 的符号决定它是圆、一个点还是什么都没有。
- §4.2椭圆两颗钉子一根绳：到两焦点距离之和等于定长 2a 的点画出椭圆，b²=a²−c²，离心率 e=c/a 管它的扁圆。
- §4.3双曲线到两焦点距离之差的绝对值等于 2a：两支曲线，c²=a²+b²，渐近线就是 2a×2b 方框的两条对角线。
- §4.4抛物线到焦点与到准线距离相等的点画出抛物线 y²=2px；把这个比值换成 e，椭圆、抛物线、双曲线就成了一家。
- §4.5圆锥曲线的切线和法线切线是割线的极限位置；“替换法则”一步写出切线方程；法线平分焦半径的夹角，于是有了光学性质。
- §5.1利用移轴化简方程曲线不动，坐标系搬家：把原点移到中心（或顶点），缺 xy 项的二次方程就只剩平方项和常数项。
- §5.2利用转轴化简方程坐标轴绕原点转一个角 θ，选 cot 2θ=(A−C)/B，xy 项就消失；转的过程中 A+C 和 B²−4AC 始终不变。
- §5.3一般二次方程的讨论与化简任何二元二次方程都是椭圆型、双曲线型或抛物线型：B²−4AC 定型，三阶行列式 Δ 判断是否退化，不变量直接给出化简结果。
- §5.5二次曲线族S₁+λS₂=0 一次写出过两条曲线全部公共点的曲线；再用一个附加条件定出 λ，不必求交点。
- §6.1极坐标系用“朝哪个方向、走多远”来定位一个点。一个点有无穷多个极坐标，换回直角坐标只要两个公式。
- §6.3极坐标系下曲线的方程ρ = f(θ) 就是一条转动的射线上的一个动点。先讨论对称性、范围和周期，再让射线转起来作图。
- §6.5利用极坐标简化计算及论证从一个点出发的线段，在极坐标里就是一个 ρ。把这个点选作极点，焦点弦、垂直弦一类的题只剩一行。
- §7.1曲线的参数方程x、y 之间的关系不好直接写时，让第三个量 t 分别管住它们：每个 t 给出一个点，t 一变，点就动起来。
- §7.2消去参数与选择参数消参：把 t 从两个式子里消掉，再回头看 x、y 能取哪些值。选参：同一条曲线可以有很多套参数方程，挑最好用的那套。
- §7.4利用参数方程简化计算及论证直线写成 x = x₀ + t cos α，y = y₀ + t sin α，t 就是到定点的有向距离。交点不用求出来，韦达定理直接给出长度之积、之和与中点。
- §8.1曲线划分平面区域曲线 F(x,y)=0 把平面切成几块，每一块里 F 的符号不变。想知道一块是正是负，在里面试一个点就够了。
- §8.2关于极值问题把 z = f(x,y) = c 看成一族“等值线”，让 c 变动；它最后一次碰到区域的位置，就是最大值或最小值所在。
- §9.1曲线与方程的对应关系求出轨迹方程只做了一半：还要检查方程的曲线上没有混进不合条件的点（纯粹性），合条件的点一个也没漏掉（完备性）。
- §9.2解轨迹问题的几种方法先看动点是怎么“动起来”的：条件直接管着它用直接法，跟着另一个动点走用代入法，被一个变量驱动用参数法，是两条动线的交点用交轨法。