- 第 1 章第一数学归纳法第一块倒下，并且每一块倒下都会碰倒下一块——两件事都做到，整排骨牌一块不剩。
- 第 2 章第二数学归纳法推出 P(k+1) 时，可以用前面所有已证的结论，不止 P(k)；代价是起点可能要不止一个。
- 第 3 章最小数原理与无穷递降法正整数不能无限地变小。假设有解，就造一个更小的解——楼梯走不到底，假设只能是错的。
- 第 4 章数列的通项与求和通项和前 n 项和互相决定；求和的一招是裂项：把每一项拆成“前减后”，中间整片抵消，只剩首尾。
- 第 5 章等差数列与等比数列等差数列首尾配对，倒过来再加一遍；等比数列乘以公比，错开一格再减一遍。
- 第 6 章高阶等差数列与差分方法相邻两项一减再减，减到常数为止；从常数往回加，就能延长数列、还原通项。
- 第 7 章递推数列常系数线性递推：解特征方程，通项是特征根的幂次的组合，组合系数由初值来定。
- 第 8 章周期数列下一项只由前几项决定、而前几项只有有限种可能时，迟早会重复——一旦重复，就一路循环下去。
- 第 9 章斐波那契数列用骨牌铺长条，铺法数就是斐波那契数；在长条上切一刀，就切出了它的加法公式和整除性质。
- 第 10 章平均值不等式的几个证明从 n 走到 n+1 走不动时，先沿 2、4、8……一路翻倍跳上去，再一级一级往回补：反向归纳法。
- 第 11 章选择适当的跨度一块牌推倒后面第 k 块：跨度为 k 的归纳，一步跨得远，起点就要验 k 个。
- 第 12 章选择恰当的归纳对象命题里有好几个变量时，先看归纳一步要用到哪些“更小”的情形，再决定对谁归纳。
- 第 13 章对命题作恰当变化证不动时把命题改强：要证的多了，归纳假设也多了。加强、找辅助命题、推广，都是为了让 n 到 n+1 走得通。
- 第 14 章先猜后证算几个小情形，看出规律，大胆猜一个公式；再用数学归纳法把它钉牢。猜只是开头，证才算数。
- 第 15 章数列中的存在性问题要说明“存在”，要么亲手造出来——逐项造、递归地造；要么证明“不存在”会导致矛盾，比如抽屉装不下。