- §1.1平均值不等式四种平均数排成一列：调和 ≤ 几何 ≤ 算术 ≤ 平方，只有所有数相等时它们才重合。
- §1.2平均值不等式的证明和不变，把最小的数拉到平均数、最大的数让出差额，积只增不减；至多 n−1 步全部相等。
- §2.1用平均值不等式证明不等式把小的一边的每一项写成大的一边几项的加权平均，用平均值不等式逐项压住，再轮换相加。
- §2.2用平均值不等式求极值一正、二定、三相等：拆项让积成为定值，再确认等号真的取得到，界才是最值。
- §2.3几何不等式中的平均值内切圆把三边切成 x、y、z 三段，x+y+z 就是半周长；对它们用平均值不等式，正三角形就是等号。
- §2.4平均值不等式的变形换成倒数、平方、加权，平均值不等式变出一整族：幂平均随指数单调上升，Σa·Σ(1/a) ≥ n² 是最常用的一种。
- §2.5带参数的平均值不等式先放一个待定参数进去，每一步都成立；再解方程选参数，让所有等号能在同一点成立。
- §3.1柯西不等式及其证明两组数“对应相乘再相加”的平方，不超过各自平方和的乘积；差恰好是一块面积的平方，压扁才相等。
- §3.2柯西不等式的变形和推广把分母各自分开的分式“合并”成一个，总和只会变小；比值处处相等时一点不少。这就是柯西的分式形式与权方和不等式。
- §4.1用柯西不等式证明不等式关键是构造两组数：平方和是题目里的式子，对应乘积里的变量全部消掉，剩下一个常数。
- §4.2柯西不等式解方程组与求极值方程个数不够，也能解：若条件逼得柯西不等式取等号，两组数只能成比例，解就被钉死了。
- §4.3柯西不等式与分式不等式分式不等式先“配平方”：分子分母同乘一个式子，让分子成为平方，再一次合并。乘什么，决定了这条路走不走得通。
- §4.4柯西不等式与组合计数估计先用“算两次”得到一个关于 Σdᵢ² 的不等式，再用柯西把它换成关于总数 Σdᵢ 的不等式——平方和管不住，总数就管住了。
- §4.5带参数的柯西不等式在两组数里先乘、除一个待定的正数 λ。每个 λ 都给出一个真的上界，但只有一个 λ 让变量消掉、等号又取得到。
- §4.6平均值与柯西联手均值和柯西都是“不等号 + 等号条件”。连着用几次，界是不是最值，要看所有等号条件能否同时成立。