- §1.1映射A 中每个元素都恰好射出一支箭——这就是映射。数一数箭头，单射、满射、一一映射和计数问题都从这里开始。
- §1.2函数函数是数集到数集的映射，图象是点集。平移、对称、翻折，其实都是“每个点各走各的路”。
- §2.1奇偶性沿 y 轴对折能重合是偶函数，绕原点转半圈能重合是奇函数；任何函数都能拆成一偶一奇之和。
- §2.2单调性区间里任取两点，右边的点总更高就是增函数。证明单调性就是判断 f(x₂) − f(x₁) 的符号。
- §2.3周期性把图象整体平移 T 后与自己完全重合，T 就是周期。两条对称轴、或 f(x+a) = −f(x)，都会悄悄造出周期。
- §3.1二次函数根在哪里，看图就知道：判别式、对称轴、端点的函数值，三样合起来把两根“关进”区间。
- §3.2幂函数、指数函数和对数函数指数函数和对数函数互为反函数，图象关于 y = x 对称。可它们的交点却不一定在这条镜子上。
- §3.3函数 f(x)=x+a²/x两项之积是定值 a²，和就有最小值 2a——当且仅当两项相等。拐点 x = a 把 (0, +∞) 分成一降一升两段。
- 第 4 章函数的最大值与最小值最值 = 一个界 + 一个取等的点。配方、判别式、不等式、换元、构造、单调性，都是找界的工具。
- 第 5 章构造函数解题把题目里的式子看成某个函数在某点的值，再让函数的性质——一次、二次、单调、奇偶——替你说话。
- §6.1函数迭代的定义把函数的输出再喂回给它：f(x), f(f(x)), f(f(f(x)))…… 蛛网图让这条“轨道”看得见。
- §6.2n 次迭代的求法算几项、猜、再证；找不动点；架一座“桥”把 f 变成简单的 g。三种办法求出 f 的 n 次迭代。
- §6.3函数迭代的应用把一个过程看成反复做同一个映射，问题就变成：轨道往哪里去？不动点、收缩、有限步必循环，是三把钥匙。
- §7.1函数方程：代换法把自变量换成另一个式子，再写一遍方程。换到 f(x) 又出现为止，方程组就能消元解出 f(x)。
- §7.2函数方程：赋值法方程对一切 x、y 成立，就挑最有用的 x、y 代进去：0、1、−x、x……每一次赋值逼出 f 的一点信息。
- §7.3函数方程：柯西法先在正整数上求出 f，再一级一级推到整数、有理数，最后借单调或连续性登上实数。
- §7.4函数方程：递归法定义在正整数上的函数方程，本质上是一个递推关系。先把它写成数列的递推，再用特征根、累加或归纳求通项。