带参数的柯西不等式 · 看得见的小蓝本·高中卷

这一招在做什么

对任意正数 $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ ，把柯西不等式用在 $λ_{i} a_{i}$ 与 $\frac{b _{i}}{λ _{i}}$ 上：

(\sum a_{i} b_{i})^{2} \leq (\sum λ_{i} a_{i}^{2}) (\sum \frac{b _{i}^{2}}{λ _{i}}),

等号当且仅当 $λ_{i} a_{i}$ 与 $b_{i}$ 成比例。 $λ_{i}$ 是我们自己放进去的“砝码”，它不改变不等式的真假，却改变了右边长什么样和等号在哪里。

先猜后证

$- 1 \leq x \leq \frac{5}{2}$ 。 $f (x) = x + 1 + 5 - 2 x$ 的最大值是多少？

14

\frac{42}{2}

3

7

先选定答案，才能看到结论。

第 1 / 4 步

不带参数：λ = 1
直接用柯西， $f (x)^{2} \leq 2 (6 - x)$ 。虚线是右边开方，它处处在 $f$ 上方，并在 $x = \frac{4}{3}$ 处与 $f$ 相切——但它向右下斜，在左端点高达 $14$ 。

$f (x)^{2} \leq (1 + 1) [(x + 1) + (5 - 2 x)] = 2 (6 - x)$
插入 λ
让 x 消掉
切点就是最高点

一般地， $f (x) = A x + h + B c - k x$ 时取 $λ = k$ ： $f (x)^{2} \leq (\frac{A ^{2}}{k} + B^{2}) (k h + c)$ 。参数的作用，就是让被开方的两部分按 $x$ 的系数“配平”。

Break it

结论：柯西给出的上界就是最大值

$λ = 2$ ：上界是常数 $10.5 \approx 3.240$ ，与 $f$ 相切于最高点。

练习 1基础

$0 \leq x \leq 1$ 。求 $f (x) = x + 3 - 3 x$ 的最大值。

练习 2基础

实数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ 。求 $x^{2} + 2 y^{2}$ 的最小值。

练习 3提高

正数 $a, b, c$ 满足 $a + 2 b + 3 c = 6$ 。求 $(a + b + c)^{2}$ 的最大值。

练习 4挑战

$- \frac{1}{2} \leq x \leq 4$ 。 $f (x) = 2 x + 1 + 2 4 - x$ 在 $x$ 等于多少时取最大值？